Jak podaje "Super Express", Józef Streżyński od 1975 roku przez 16 lat pełnił posługę duszpasterską. Swoją obecną żonę poznał, będąc wikariuszem w kościele na warszawskim Żoliborzu. 18-letnia wówczas Anna od razu zwróciła jego uwagę:

Przychodziła na spotkania, na rekolekcje, które prowadziłem. Miała to coś.

Miłość okazała się silniejsza od duszpasterstwa. Ksiądz Józef postanowił rozstać się z Kościołem:

Zrezygnowałem z kapłaństwa ze względu na miłość. Biskup nie był zadowolony z mojej decyzji. Jak dobry pracownik odchodzi, to każdy szef jest niezadowolony. Gdybym był kiepskim księdzem, toby się pewnie ucieszyli - powiedział Streżyński.

Mąż obecnej minister cyfryzacji, Anny Streżyńskiej podjął trudną decyzję, której do dziś nie żałuje:

Odchodząc, zrezygnowałem jedynie z celibatu. Nie mogłem połączyć dwóch rzeczy: bycia księdzem i bycia z kobietą. Ale powołanie do kapłaństwa czułem, miałem i mam nadal. Do małżeństwa. Mamy dwie wspaniałe córki.